# 1.1 FUNCTIONS AND THEIR REPRESENTATIONS
![[[수업용] 1.1장 수업자료.pdf]]
## FUNCTIONS
- Function
- `Definition` A function $f$ = a rule that assigns to each element $x$ in a set $D$ exactly one element, called $f(x)$, in a set $E$
- $D$: domain
- $f(x)$: value of $f$ at $x$ "$f$ of $x
quot;
- independent variable: $D$ 안에 있는 임의의 수
- dependent variable: $f$ 안에 있는 수
- Graph
- function을 시각화하는 most common method
- `Definition` $\{(x, f(x)) | x \in D\}$
- Representations of Functions
- verbally / visually (graph) / numerically (table of values) / algebraically (explicit formula)
- `Definition(The vertical test)` A curve in the $xy$-plane (좌표평면) is the graph of a function of $x$ if and only if no vertical line intersects the curve more than once
- Piecewise defined functions
- 구간마다 식이 다른 함수
- Symmetry
- $f(-x) = f(x)$ 만족할 경우 우함수 even function
- $f(-x) = -f(x)$ 만족할 경우 기함수 odd function
- Increasing and decreasing functions
- `Definition`
- increasing: $f(x_1) < f(x_2)$ whenever $x_1 < x_2$ in $I$
- decreasing: $f(x_1) > f(x_2)$ whenever $x_1 < x_2$ in $I$
- 어떤 pair든 성립해야 함
# 1.2 A CATALOG OF ESSENTIAL FUNCTIONS
![[1.2 A Catalog of Essential Functions.pdf]]
## MATHEMATICAL MODELING
### Mathematical Model
- `definition` 현실 세계 현상을 함수나 방정식 등 수학적으로 표현한 것
- `purpose` 현상을 이해하고, 미래 행동을 예측하려고
- `특징`
- mathematical model은 idealization이지, 절대 정확한 representation은 아님
- 좋은 모델은 simplify가 잘 되어있고, 충분히 accurate함
- `종류`
- Linear Models
- Polynomials
- Power Functions
- Rational Functions
- Trigonometric Functions
- Exponential Functions and Logarithms
### Linear Models
- `definition` 함수의 그래프가 line일 때, $y$가 $x$의 linear function이라고 말함
- `formula` slope-intercept form
- $y = f(x) = mx + b$, $m$은 line의 slope + $b$는 y절편
### Polynomials 다항식
- `definition`
- $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
- $n$은 양수 정수
- $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, a_n$ 는 상수 (다항식의 coefficients(=계수))
- `domain` $\mathbb{R} = (- \infty, \infty)$
- `특징`
- leading coefficeint $a_n \neq 0$ 이면, degree(=차수)는 $n$
- 차수 1의 다항식은 linear function
- 차수 2의 다항식은 quadratic function
- 차수 3의 다항식은 cubic function
- $f(x) = x^a$, $a$가 상수일 때: power function
### Power Functions
- $f(x) = x^n$에서 $n$이
- even하면, even function
- odd하면, odd function
- $n$이 커지면 그래프는
- 0에 가까울 때 flatter
- $|x| \geq 1$ 일 때 steeper
- $a= \frac {1}{n}$ , $n$이 양의 정수
- $f(x) = x^{\frac {1}{n}} = \sqrt[n] x$ root function
- $a = -1$
- $f(x) = x^{-1} = \frac {1} {x}$
- reciprocal function 역수함수
### Rational Function
$
f(x) = \frac {P(x)}{Q(x)}
$
- ratio of two polynomials
- domain은 $Q(x) \neq 0$인 모든 values
### Trigonometric Functions
$\sin \theta = \frac {\text{opposite}} {\text{hypotenuse}}$
$\cos \theta = \frac {\text{adjacent}} {\text{hypotenuse}}$
$\tan \theta = \frac {\text{opposite}} {\text{adjacent}}$
$\csc \theta = \frac {\text{hypotenuse}} {\text{opposite}}$
$\sec \theta = \frac {\text{hypotenuse}} {\text{adjacent}}$
$\cot \theta = \frac {\text{adjacent}} {\text{opposite}}$
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standard position(=꼭짓점은 원점(0,0)에 두고, **시초선(처음 변)은 x축의 양의 방향**에 고정)에 있는 $\theta$에 대해, $P(x,y)$를 동경에 있는 아무 점으로 하고, $r$을 $|OP|$ 거리로 함
$\sin \theta = \frac {y} {r}$
$\cos \theta = \frac {x} {r}$
$\tan \theta = \frac {y} {x} = \frac {\sin \theta} {\cos \theta}$
$\csc \theta = \frac {r} {y} = \frac {1} {\sin \theta}$
$\sec \theta = \frac {r} {x} = \frac {1} {\cos \theta}$
$\cot \theta = \frac {x} {y} = \frac {1} {\tan \theta} = \frac {\cos \theta} {\sin \theta}$
#### 주요 수식
$
\begin{align}
(1)\quad & \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \\
(2)\quad & \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \\
(3)\quad & \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \\
(4)\quad & \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
(5)\quad & \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\
(6)\quad & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\
(7)\quad & \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \\
(8)\quad & 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \\
(9)\quad & \sin(-\theta) = -\sin \theta \\
(10)\quad & \cos(-\theta) = \cos \theta \\
(11)\quad & \sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta \\
(12)\quad & \cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta \\
(13)\quad & \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
(14)\quad & \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
(15)\quad & \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \\
(16)\quad & \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
(17)\quad & \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\
(18)\quad & \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \\
(19)\quad & \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\
(20)\quad & \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \\
(21)\quad & \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \\
(22)\quad & \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \\
(23)\quad & \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \\
(24)\quad & \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \\
(25)\quad & \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\
(26)\quad & \sin x \cos y = \frac{1}{2} \left[ \sin(x + y) + \sin(x - y) \right] \\
(27)\quad & \cos x \cos y = \frac{1}{2} \left[ \cos(x + y) + \cos(x - y) \right] \\
(28)\quad & \sin x \sin y = \frac{1}{2} \left[ \cos(x - y) - \cos(x + y) \right]
\end{align}
$
#### 삼각함수 그래프
- sine, cosine 함수
- domain과 range
- domain: $(- \infty, \infty)$
- range: closed interval $[-1, 1]$
- 즉, 모든 값 $x$에 대해 $-1 \leq \sin x \leq 1$ 이며 $-1 \leq \cos x \leq 1$
- periodic functions
- period: $2 \pi$
- 즉, 모든 값 $x$에 대해 $\sin (\theta + 2 \pi) = \sin \theta$ and $\cos (\theta + 2 \pi) = \cos \theta$
- sine 함수
- 0 값
- multiple of $\pi$에서 발생
- 즉, 정수 $n$, $x = n \pi$일 때 $\sin x = 0$
- tangent 함수
- perodic function
- period: $\pi$
- 즉, 모든 $x$에 대해 $\tan (x + \pi) = \tan x$
### Exponential Functions and Logarithms 지수함수와 로그함수
- Exponential Functions
- $f(x) = a^x$, $a$는 양의 상수
- 예시: $2^x$ 와 $(0.5)^x$
- domain: $(- \infty, \infty)$
- range: $(0, \infty)$
- Logarithms
- $f(x) = \log_{a}{x}$ , $a$는 양의 상수
- exponential function의 inverse
## COMBINATIONS OF FUNCTIONS 함수의 결합
$
\begin{align}
\textbf{Definition (Operations on Functions)} \\
\text{Let } f \text{ and } g \text{ be functions.} \\[6pt]
(1)\quad & \text{Sum:} \quad (f+g)(x) = f(x) + g(x) \\
(2)\quad & \text{Difference:} \quad (f-g)(x) = f(x) - g(x) \\
(3)\quad & \text{Product:} \quad (fg)(x) = f(x)g(x) \\
(4)\quad & \text{Quotient:} \quad \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0 \\
(5)\quad & \text{Composition:} \quad (f \circ g)(x) = f(g(x))
\end{align}
$
$
\begin{align}
\textbf{Remark (Domains)} \\
\text{Suppose the domain of } f \text{ is } A \text{ and the domain of } g \text{ is } B. \\[6pt]
(1)\quad & \mathrm{Dom}(f+g) = A \cap B \\
(2)\quad & \mathrm{Dom}(f-g) = A \cap B \\
(3)\quad & \mathrm{Dom}(fg) = A \cap B \\
(4)\quad & \mathrm{Dom}\!\left(\frac{f}{g}\right)
= \{\, x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0 \,\} \\
(5)\quad & \mathrm{Dom}(f \circ g)
= \{\, x \in B \mid g(x) \in A \,\}
\end{align}
$
# 1.3 THE LIMIT OF A FUNCTION
![[1.3 The Limit of a Function.pdf]]
## INTUITIVE DEFINITION OF A LIMIT
$f(x)$가 $x$가 $a$에 가까울 때 정의된다고 가정하자. (즉, $f$는 $a$를 포함하는 open interval 사이에 정의되는데, $a$에서만 정의가 되지 않았을 수도 있음.) 그런 상황에서 우리는 아래와 같이 씀.
$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$
- "the limit of $f(x)$, as $x$ approaches $a$, equals $Lquot;
- $x$를 충분히 $a$와 가까운 (그러나 $a$는 아닌 값으로) 만들면 $f(x)$의 값을 얼마든지 $L$ 가까이 만들 수 있음
- 그냥 정상적으로 연결될 때도, $f(a) \neq L$일 때도, $f(a)$가 아예 없을 때도 $\lim_{x \to a} f(x) = L$
$
H(t) =
\begin{cases}
0 & \text{if } t < 0 \\
1 & \text{if } t \ge 0
\end{cases}
$
- 위 경우에는 single number로 나오지 않음
$
\lim_{t \to 0} H(t) \text{ does not exist.}
$
## ONE-SIDED LIMITS
$
H(t) =
\begin{cases}
0 & \text{if } t < 0 \\
1 & \text{if } t \ge 0
\end{cases}
$
- H(t)는 t가 0에 왼쪽에서 접근할 때 0으로 수렴하고, 오른쪽에서 접근할 때 1로 수렴한다. 이 상황을 기호적으로 다음과 같이 나타낸다.
$
\lim_{t \to 0^-} H(t) = 0
\quad \text{and} \quad
\lim_{t \to 0^+} H(t) = 1
$
- t → 0⁻ 는 t가 0보다 작은 값들만 고려함을 의미한다.
- t → 0⁺ 는 t가 0보다 큰 값들만 고려함을 의미한다.
### DEFINITION
$
\lim_{x \to a} f(x) = L \text{ if and only if } \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ and } \lim_{x \to a^+} f(x) = L
$
- $x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 left-hand limit이 $L$과 같다고 말함. 반대는 right-hand limit.
## PRECISE DEFINITION OF A LIMIT
함수 $f$가 어떤 열린 구간에서 정의되어 있고, 그 구간이 수 $a$를 포함하되 $a$ 자체에서는 정의되지 않을 수도 있다고 하자. 이때 $x$가 $a$로 갈 때 $f(x)$의 극한이 $L$이라고 하며, 이를 다음과 같이 쓴다.
$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$
오차 범위 = $\epsilon$, 거리 = $\delta$라고 할때,
### $\lim_{x \to a} f(x) = L$
$
\text{if } 0<|x-a|<\delta \text{ then } |f(x)-L|<\epsilon
$
### $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$
$
\text{if } -\delta < x - a < 0 \text{ then } -\epsilon <f(x)-L<0
$
### $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$
$
\text{if } 0<x-a<\delta \text{ then } 0<f(x)-L<\epsilon
$
# 1.4 CALCULATING LIMITS
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## CALCULATING LIMITS
### LIMIT LAWS
상수 $c$와 $\lim_{x \to a} f(x)$, $\lim_{x \to a} g(x)$가 존재할 때,
$
\begin{align*}
\text{(i)} \quad & \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \\
\text{(ii)} \quad & \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \\
\text{(iii)} \quad & \lim_{x \to a} [c f(x)] = c \lim_{x \to a} f(x) \\
\text{(iv)} \quad & \lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) \\
\text{(v)} \quad & \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{if } \lim_{x \to a} g(x) \ne 0 \\
\text{(vi)} \quad & \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^n \\
\text{(vii)} \quad & \lim_{x \to a} c = c \\
\text{(viii)} \quad & \lim_{x \to a} x = a \\
\text{(ix)} \quad & \lim_{x \to a} x^n = a^n, \quad \text{where } n \text{ is a positive integer} \\
\text{(x)} \quad & \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}, \quad \text{where } n \text{ is a positive integer (if } n \text{ is even, we assume that } a > 0) \\
\text{(xi)} \quad & \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}, \quad \text{where } n \text{ is a positive integer (if } n \text{ is even, we assume that } a > 0)
\end{align*}
$
# 1.5 CONTINUITY
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# 1.6 LIMITS INVOLVING INFINITY
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